一階線形微分方程式は下のような式で表します。 \[y' + P(x)y = Q(x)　同次方程式:Q(x)=0,　非同次方程式Q(x)\neq0\] $x$ と $y$ の式が入り混じっており、前章よりもさらに複雑になっていますね。しかしこれも解法のコツを掴んでいれば決して難しいものではありません。一歩ずつ理解していきましょう。

　一階線形微分方程式の一般解は、次のように表されます。 これは 一階線形微分方程式の一般解の公式 なので、そのまま覚えてしまって一般解を求めるのもアリです。ですが、まずは中身を理解するために、解の公式を使わずに一般解を求めてみましょう。一階線形微分方程式を解くときのコツは、まず 同次方程式 を解くことです。同次方程式とは一階線形微分方程式 $y' + P(x)y = Q(x)$ の右辺が $Q(x)=0$ となる方程式のことです。

次の一階線形微分方程式を解け。 問１　$y' - 2y = e^x $

まずは、この式の同次式の解を求めます。 $y' - 2y = 0$ $\dfrac{dy}{dx} = 2y$　　$\Rightarrow　　\dfrac{1}{y} dy = 2 dx$ 両辺を積分して $\displaystyle \int \dfrac{1}{y} dy = 2 \displaystyle \int dx$ $\ln |y| = 2x + C_{1}$ $|y| = e^{2x + C_{1}}$ $y = \pm C_{2}e^{2x}　(任意定数C_{2}=e^{C_{1}})$ $y = Ce^{2x}　(任意定数C=\pm C_{2})$ よって、同次方程式の一般解は $y = Ce^{2x}　(C=\pm e^{C_{1}})$ と求まりました。 さて、次は 非同次方程式 $Q(x) \neq 0$ を解いていくのですが、こちらも解き方にコツがあります。先ほどの同次方程式の一般解の任意定数 $C$ を $u(x)$ に置き換えて、非同次方程式を解いていくのです。これは定数 $C$ を $x$ の関数として変化させて解いていくので、定数変化法 といいます。 $y = u(x) e^{2x}　①$ 両辺を $x$ で微分すると $y' = u'(x)e^{2x} + 2u(x)e^{2x}　②$ ①と②を与式 $y' - 2y =e^x $ に代入すると $u'(x)e^{2x} + 2u(x)e^{2x} - 2u(x) e^{2x} = e^x$ $u'(x)e^{2x} = e^x$ $u'(x) = e^{-x}$ 両辺を $x$ で積分して $u(x) = -e^{-x} + C$ $u(x)$ を同次方程式の①の式に代入すると、以下のように解が求まりました。 $y = (-e^{-x} + C)e^{2x} = Ce^{2x} - e^x$ 当然、一般解の公式 $y = e^{-\int P(x)dx} {\int Q(x)e^{P(x)dx} dx + C}$ を使っても同じ答えが出るので試してみてください。

　ベルヌーイの微分方程式は下のような式で表されます。 上で解いた微分方程式とよく似ていますが、右辺に $y^n$ があって少々解くのが大変そうです。もちろん、コツを理解してしまえば解くのは決して難しくありません！ 最初にベルヌーイの微分方程式の解き方の流れをまとめておきます。 では、上記の流れで実際に問題を解いてみます。

次の微分方程式を解け。 $y' - xy = -e^{-x^2}y^3$

$y$ の肩に3がのっているので、これは $n = 3$ のベルヌーイの微分方程式になります。上の流れの通り、与式の両辺に $ -2 y^{-3} $ をかけると $-2y^{-3}y' + 2xy^{-2} = 2e^{-x^2} $ 合成関数の微分より、 $(y^{-2})' = -2y^{-3}y'$ となるので $(y^{-2})' + 2xy^{-2} = 2e^{-x^2}$ ここで、 $y^{-2} = u$ とおくと $u' + 2xu = 2e^{-x^2}$ この式は $u$ の一階線形微分方程式で、$P(x) = 2x$、$Q(x) = 2e^{-x^2}$ となる。なので、一階線形微分方程式の解の公式 $y = e^{-\int P(x)dx} \{\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C\}$ を利用して 　$ = e^{-x^2}(\int 2 dx + C\}$ 　$ = e^{-x^2}(2x + C) $ これに $u = y^{-2}$ を代入して $y^{-2} = e^{-x^2}(2x + C)$ よって、一般解は以下のようになる。 $y^2 = \dfrac{e^{x^2}}{2x + C}$

　リッカチの微分方程式は下のような式で表します。 一般的には、この形の微分方程式は解けないのですが、1つの特殊解がわかる場合には一般解を求めることができます。 コツは、一般解を $y = y_{0} + u　(y_{0}は特殊解)$ とおくことです。あとは基本的な解き方で一般解を求めることができます。 実際に問題を解いてみましょう。

次の微分方程式の特殊解の1つが $y_{0} = x$ であることを確かめ、微分方程式を解け。 $(x^2 + 1)y' + 2y^2 - 3xy - 1 = 0$

$y_{0} = x$ より、 $y_{0}' = 1$ なので $(x^2 + 1)y_{0}' + 2y_{0}^2 - 3xy_{0} - 1 = 0$ $(x^2 + 1) + 2x^2 - 3x^2 - 1 = 0$ よって、 $y_{0} = x$ は与式を満たすので1つの特殊解になります。 さて、ここで最初に述べたコツ「 $y = y_{0} + u$ とおく」を使います。すると、 $y = y_{0} + u = x + u　①$ となり、この両辺を $x$ で微分すると $y' = 1 + u'　②$ となります。 ①と②を与式へ代入すると、 $u'$ に着目して式を整理すると $u' + \dfrac{x}{x^2 + 1} u = -\dfrac{2}{x^2 + 1} u^2$ この式をよく見てみるとベルヌーイの方程式 $y' + P(x)y = Q(x)y^n　(n \neq 0,1)$ になっています。なので、この式の両辺に $(-2 + 1)u^{-2 = -u^{-2}}$ をかけると $-u^{-2}u' - \dfrac{x}{x^2 + 1} u^{-1} = \dfrac{2}{x^2 + 1} $ $(u^{-1})' - \dfrac{x}{x^2 + 1} u^{-1} = \dfrac{2}{x^2 + 1} $ ここで $v = u^{-1}$ とおくと $v' - \dfrac{x}{x^2 + 1} v = \dfrac{2}{x^2 + 1} $ これは $v$ の１階線形微分方程式なので解の公式 $y = e^{-\int P(x)dx} \{\int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C\}$ を利用して 　$ = 2x + C \sqrt{x^2 + 1}$ よって一般解は、以下のようになります。 $y = x + u = x + \dfrac{1}{v} = x + \dfrac{1}{2x + C \sqrt{x^2 + 1}}$